Immagina di poterti muovere solo avanti e indietro su una sottile corda: questo è il mondo della retta dei numeri reali. Se volessi saltare verso l'alto, la corda non riuscirebbe a sostentarti. Introdurrei numeri complessiè come aggiungere una nuova dimensione al tuo mondo. Ogni numero complesso della forma $z = a + bi$ non è più semplicemente un punto sulla retta dei numeri reali, ma un punto nel piano cartesiano con coordinate $(a, b)$ o un vettore uscente dall'origine. Questa perfetta corrispondenza tra "numero" e "forma" rappresenta uno dei passi più significativi nella storia della matematica.
Definizione algebrica e corrispondenza geometrica dei numeri complessi
Nel secondo volume obbligatorio abbiamo studiato il sistema dei numeri complessi. I numeri complessi sono composti daparte realeeparte immaginariacomposti dalla parte reale e dalla parte immaginaria, con la forma algebrica standard $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Per comprendere in modo intuitivo i numeri complessi, abbiamo costruitoil piano complesso:
- asse reale: corrisponde all'asse $x$, rappresenta la parte reale del numero complesso.
- asse immaginario: corrisponde all'asse $y$, rappresenta la parte immaginaria del numero complesso.
- punto e numero complesso: il numero complesso $z = a + bi$ ha una corrispondenza biunivoca con il punto $Z(a, b)$.
- vettore e numero complesso: il numero complesso $z = a + bi$ ha una corrispondenza biunivoca con il vettore nel piano $\vec{OZ}$.
Il modulo di un numero complesso $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ha un significato geometrico: rappresenta la distanza dal punto $Z$ nell'insieme complesso all'origine. Mentre $|z_1 - z_2|$ rappresenta la distanza tra due punti.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$